MAXIMOS Y MINIMOS (PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE
LA DERIVADA)
DANIELA RODRIGUEZ CUARTAS
BERNARDO PATIÑO
Trabajo presentado al
profesor en la asignatura de calculo
diferencial
UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL
PEREIRA
INGENIERIA CIVIL
23 MAYO
2012
1.
Se desea construir una caja rectangular con una pieza de
cartón de 24 pulgadas de largo por 9 de ancho cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando los lados
Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?
Solución:
Sea 
el lado del cuadrado que se va a cortar; V el
volumen de la caja resultante.
el lado del cuadrado que se va a cortar; V el
volumen de la caja resultante. 
Luego:V
= (9 - 2
) (24 – 2) =216 – 2 + 43 x no puede ser menor que cero ni mayor que 4.5
o sea que se debe maximizar V sobre el intervalo [0,4.5], los puntos
estacionarios se encuentran igualando a cero la derivada dv y resolviendo la ecuación resultante: dx
V’()= 216 – 132 + 12 2 =
(18 – 11 + 2) V’()=12(9 - ) (2 - )=0 (9 – ) = 0 = 9 y (2 – )= 0 = 2 como 9 no está en el
intervalo solo se toma 2. Luego hay tres puntos críticos que son: 0, 2,4.5 En
los puntos frontera V (0)= 0 y V (4.5)= 0; en 2
el volumen V= 200. Se concluye que la caja tiene un volumen máximo de
200 pulgadas cubicas cuando = 2 o sea que la caja tiene
20 pulgadas de largo 5 pulgadas de ancho y 2 pulgadas de alto o profundidad.
2.
Un
volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de material impreso con 4 pulgadas de margen arriba y debajo de 2
pulgadas de margen a los lados. ¿Qué dimensiones debe tener el volante para que
gaste menos papel?
Como 
tiene que ser mayor que
cuatro (>4) el valor = -1 no es permitido;
entonces el área alcanza su mínimo valor
cuando X = 9 por lo tanto 
= 18. Asi que las
dimensiones del volante en que se usara la mínima cantidad de papel son 9
18 pulgadas.
tiene que ser mayor que
cuatro (>4) el valor = -1 no es permitido;
entonces el área alcanza su mínimo valor
cuando X = 9 por lo tanto = 18. Asi que las
dimensiones del volante en que se usara la mínima cantidad de papel son 918 pulgadas.
3.
Se
tiene 100 m de tela de alambre con la cual de planea construir dos corrales
adyacentes idénticos. Cuáles son las dimensiones del cercado total para el que
es máxima el área.
4. Se va a cortar una viga rectangular de un tronco transversal circular. Si la resistencia de
una viga es proporcional al producto de su anchura por el cuadrado de su
altura; encuentre las dimensiones de la sección transversal que da la viga de
mayor resistencia.
5.Se
requiere cercar un lote rectangular de
800m2 de área. Si uno de los dos está sobre la orilla recta de un
rio. ¿Cuáles son las dimensiones del lote para que la longitud de la cerca sea
mínima?
6.
Se
requiere construir un envase cilíndrico de base circular cuyo volumen es de 125
cm 3 hallar las dimensiones que debo tener para que la cantidad de
lámina empleada (área total) sea mínima.
7. ¿Cuáles son las dimensiones de un cono con área de superficie 10 
que encierra
el mayor volumen [Indicación: Área de superficie = 
r (h2 +r2)1/2 ;volumen= 
r2 h]
que encierra
el mayor volumen [Indicación: Área de superficie = r (h2 +r2)1/2 ;volumen= r2 h]
8. Un silo consta de un cilindro con una parte
superior hemisférica. Hallar las dimensiones del silo con un volumen fijo de v= 40
que tiene la
menor área de superficie. Inclúyase el piso.
que tiene la
menor área de superficie. Inclúyase el piso.
9. Se va a fabricar un recipiente cilíndrico abierto,
de volumen de 1 pie3. Hallar las dimensiones que minimizan e área
del material usado en su construcción.
10. Hallar las dimensiones del cono circular recto de
área máxima de superficie que puede inscribirseen una esfera de radio r=1
11. Un hombre esta en un bote y se encuentra a 24Km de
distancia de una playa recta y desea un punto situado a 20 Km de la playa.
Puede viajar a 5 Km por hora en el bote y a 13 Km por hora en tierra. ¿En que
punto deberá atracar el bote con el objeto de minimizar el tiempo que se
requiere para llegar el destino deseado?
12.Un cartel deberá contener un área impresa de 150 cm2,
con márgenes de 3 cm en la parte superior e inferior, y 2 cm a cada lado.
Hallar el área mínima total.
AI = 150 
= 150
= 
luego el área total será:
= 150
= luego el área total será:
Se deriva para minimizar y queda:
13. Se necesita cortar y doblar un pedazo cuadrado de
cartón de 1 metro por cada lado para formar una caja que no tenga parte
superior (habrá que recortar pequeños cuadrados en cada esquina).
Hallar las dimensiones de la caja que contenga el
mayor volumen.
14. Hallar el punto sobre la grafica de y= x2
+ 1 que este mas cercano al punto
(8,
).
).
15. El grosor de un empaque de cartón es el perímetro
de un extremo. Las restricciones de embarque requieren que la suma del grosor y
la longitud no exceda 100 pulgadas. Hallar las dimensiones del embalaje con un
extremo cuadrado que tenga el mayor volumen.
Al derivar se tiene: V'() =
-12 
.Se iguala a cero:
) = -12 .Se iguala a cero:
16. para el embalaje del cartón del problema anterior,
suponga que el paquete es cilíndrico (es decir, el extremo es un circulo).
17. Hallar las dimensiones del cilindro mayor volumen
que encajaría dentro de un cono de radio 3 y de altura 5. Suponer que los ejes
del cilindro y del cono coinciden.
18. Considere un triangulo rectángulo con sus catetos
sobre los ejes coordenados, cuya hipotenusa pasa por (4,3), Hallar el área
mínima que pueda encerrar tal triangulo.
19. Considere círculos que tienen el centro sobre el
eje positivo x, y que pasan por el
punto (0, a) donde a > 0. Entre tales círculos, ¿cual
es el centro (x, 0) que maximiza la
razón entre x y el área del circulo?
O sea que 
= 
produce el máximo valor para la razón R
= produce el máximo valor para la razón R
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